フォト
無料ブログはココログ

« 「私の死後にもちゃんと世界は存在している」と言えるわけ | トップページ | 水中の「匂い」を考える »

2017年2月 2日 (木)

二封筒問題を考える

大阪哲学同好会2017年1月例会で「二封筒問題」が話題になった。興味深かったので 、同会の掲示板でスレッドを立てて考察した。以下に紹介する。興味のある人は討論してみませんか?

大阪哲学同好会したらば掲示板 

横山 2017/01/29(日) 17:54:21

1月例会でイイダさんが紹介された確率にかんする問題です。

二つの封筒にはお金が入っているがそとから中身はわからない。金額は不明だが、片方はもう片方の倍額入っていることが分かっている。この封筒のどちらか一方を選んでそのお金を得る。
さて、ある人が封筒を選んで中身を確かめたあとで、ディーラーからもう一つの封筒と取り替えても良いと言われた。この人は取り替えるべきか?

2 横山 2017/01/29(日) 18:10:03
この人が高額の方を選ぶ確率も低額の方を選ぶ確率も同じく1/2のはず。だから、封筒を選んだあとで封筒を取り替えても得になるとは考えにくい。
ところが、
最初に選んだ封筒の中身が500円だとすると、この500円が高額の方である確率は1/2だから、取り替えたら1/2の確率で低額の方の250円の封筒を得ることになる。
また、最初に選んだ500円が低額の方である確率は1/2だから、取り替えたら1/2の確率で高額の方の1000円の封筒を得ることになる。
それゆえ、交換したときの期待値は、
(1/2×250+1/2×1000=625)
で、625円になってしまって交換しないままよりも高くなってしまう。
本来は交換しても変わらないはずなのに、交換した方が得だという計算結果が得られてしまう・・・というパラドックス。
どこが間違っているのだろう?

3 夫 2017/01/29(日) 18:45:13
http://philonous.blog111.fc2.com/blog-entry-54.html
これ分かりやすかったです。
結局ここで出している期待値は偽の期待値と言うことみたいです。

4 横山 2017/01/29(日) 21:31:18
夫さん、紹介ありがとうございます。解りやすい解説でした。
でも、それでもまだ、よく分からないところがあります。

自分が最初に選んだ封筒が高額の方か低額の方かは、どちらも1/2の確率であるはずです。これは無限の実検の結果が1:1になるとの予測から正当な確率値だと言えるでしょう。ところが、その最初に選んだ金額が500円だったとして、それを交換してもらってもしなくっても期待される金額は変わらないのであれば、交換したときの期待値は500円だとできそうな気がします。もしその期待値500円という値に意味があるのであれば、その期待値計算は次のようになるはずです。すなわち、交換して1000円を得る確率をaとし、250円を得る確率を(1-a)とすると、
「1000×a+250×(1-a)=500」

そして、この方程式を解くと、
a=1/3
になってしまいます。
つまり、交換してもしなくても同じということに期待値としての意味があるならば、交換して2倍の金額がもらえる確率は1/3であることになります。しかし、これは最初に自分が選んだ金額が高額である確率も低額である確率も1/2であったことと食い違います。

これは、いったいどういうことなのでしょう?

5 夫 2017/01/30(月) 10:43:36
>横山さん

自分の選んだ金額が、高額の場合と低額の場合とで世界が異なるので、一緒にして期待値計算ができないということではないのでしょうか。

だから仮に500円を選んだとして、もう一つの封筒に交換するときの期待値を計算しようと思っても、情報が足りない。
自分の選んだ金額が、高額か、低額かを知る必要があるわけですが、知ったらもう一方の封筒の中身の金額もわかっちゃうので意味はありません。

という風に理解しましたが、どうでしょうか。

6 横山 2017/01/30(月) 12:35:04
なるほど。ということは、
最初の封筒の中身が500円だったときに交換した場合の期待値は625円だとするのが間違いであるばかりではなく、この問題設定だけでは500円だとすることもできない。交換した場合の期待値が求められると考えること自体が間違いだった。
・・・ということなのでしょうか?

7 夫 2017/01/30(月) 14:20:00
>横山さん

と思ったのですが、自信はありません。

8 横山 2017/01/30(月) 14:31:08
次の想定では明らかに期待値は有意味だと思えるのですが、二封筒の問題の想定とどこが違うのか。そこがよく分かりません。こういう想定です。

ある人が500円持っています。HとLの2枚のカードのうち1枚を引いてHが出たら500円は1000円と引き換え、Lだったら250円と引き換えます。カードを引かなければそのままの500円です。カードを引く方が得かどうか?
という想定です。

この場合は問題なく、期待値を625円だとしてカードを引く方が徳だと確定できる、と思われます。
この想定だと、交換する相手が1000円である確率が1/2で、250円である確率が1/2であることが、想定自体に組み込まれていてはっきりしているから期待値を計算することに意味がある。けれども、二封筒の問題の想定では交換する相手が1000円である確率が1/2なのか1/3なのかそれ以外なのか想定からだけでははかり知ることができない。だから、二封筒の場合の期待値を計算することには意味がない。
と、こういうことなのでしょうか?

9 横山 2017/01/30(月) 14:38:56
2封筒とHLの2カードとは、どこが違うのだろう?

10 横山  2017/01/30(月) 22:21:43
夫さんが示してくださったサイトの解説は、とても丁寧でわかりやすくすばらしいです。でも、すこし、納得できない部分があります。次の部分です。

「ここに封筒の(輪ゴムで合わせた)ペア、三組がある。それぞれの封筒には紙幣が入っていて、それぞれのペアの金額が { 5000,10000 } { 10000,20000 } { 20000,40000 }で あることは、あなたも友人も知っているが、封筒の外観はみな同じなので、どの封筒のペアがどの金額のペアなのかまではわからない。あなたは、三組の封筒のペアの中から、無作為に一つのペアを選んだ。そして、そのペアの片方("封筒a"とする)を あなたがとり、もう片方("封筒b"とする)を友人がとる。すると、あなた達は「お互いに封筒を交換してもよい」と言われる。そして、あなたが封筒a の中身を確認すると1万円でした。一方、友人が 封筒b の中身を確認すると2万円でした。」
という状況を提示したうえで、そのような、封筒の中身の金額の有り様のパターンが有限でそれが公にされている状況でも、「封筒a を選んでいれば、封筒b に交換したほうが得であり、封筒b を選んでいれば、封筒a に交換したほうが得である」という結論が得られることがパラドクスであるとしています。

これは本当にそうなのでしょうか?
封筒の中身の金額の有り様のパターンが有限でそれが公にされている状況では、それぞれが交換した方が有利だとする計算結果が得られたとしても、僕には何ら困ることがないように思えます。パターンが有限であるなら、そのパターンの最大最小の限度のところで交換の対称性が崩れるところができてしまって、「これが限度額なのだから交換したら損」と判断されるような場面がでてくるので、パラドクスは解消されると思われるのです。

この確率問題の抱えている、もっとも深刻な問題はパターンが有限から無限に投げ出されてしまっているところにあるように思えて仕方ないのですが、どうなのでしょうか?もう少し考えてみたいと思います。

11 横山 2017/01/30(月) 23:06:17
2封筒とHLの2カードとは、金額のパターン数が実無限と可能無限の違いなのではないだろうか?
2封筒は無限が悪さをしているところに真の問題があるのじゃないのだろうか?

12 横山 2017/01/31(火) 00:03:35
いくつかの解説サイトをみましたが、この問題に答えているサイトには胡散臭いのもずいぶんあるみたいですね。
そのなかで、僕は
http://www.yaokisj.com/mattopic6.html
がもっとも信頼できるように思いました。それによると、無限集合において「偏らない選択」が出来ない(難しい)ことがパラドクスを生む原因らしいです。

13 横山  2017/01/31(火) 23:22:57
確率問題って、この僕が生きている現実世界とこの僕が希望を持って生きることとの関係を問うための考察が隠されているような気がして、さらに興味深く思えてきました。

このレスの初めに僕は「この人は取り替えるべきか?」と問うた。しかし「べきか?」って問いはそんなに簡単に問えるものではなかったのかもしれない。
実際に自分が引いた封筒の中身が500円で、後で確かめたら残りの封筒に入っていた金額が1000円だったというとき、後でわかる視点(或いは神の視点とでもいうべき視点)において、私は「取り替えるべきだ」と言えるだろう。しかし、現実に生活を生きていくときに、そのような後から分かる神の視点を先に持ち出すわけにはいかない。私は今「封筒の中は500円だった」という情報しか持っていないのだから、その情報だけからどうにかしてもう一つの封筒の中身を占える方法を考えねばならない。
そこで、「残りの封筒の中身を1000円のときと250円のときとが1対1とする」。そうするときに、もっとも偏りのない設定をしたと考えて良さそうに思えるし、その設定から正しい判断が導き出せそうだと思える。
しかし、本当にそうか?
「偏りのない可能世界の設定」って一体どういうことを考えて組み立てるべきなのだろう?
我々は、別に何らかの仮定や前提を置かなくても元々存在しているような、偏りのない可能世界っていうものの捉え方が、実在していると考えていたから、能天気に、無防備に、何も畏れずに、「取り替えた方が得なのか損なのか、その本当の答え」などというものがあると思い、それが問えると思い込んでいただけではないのか?

問いにおける可能世界をどう考えるかの設定をしなければ、「取り替えた方が得なのか損なのか、その本当の答え」なんていうものも無く、何も設定しないままであれば「偏りのない可能世界」などというものも無いのじゃないだろうか。

・・・っていうような、偏りのない可能世界の不可能性・偏りのない可能世界の非実在性が、「無限集合においては「偏らない選択」が出来ない」ってことに直結しているような気がしています。

14.横山 2017/02/01(水) 22:23:21
その封筒が高額な方である確率は正しく1/2であろう。しかし、そのことは、封筒の中身が500円だったときにそれが250対500においての500円なのか500対1000においての500円であるかの、ありやすさが1:1であることを意味しない。
それゆえ、手元にある500円が高額な方である確率は1:2だと言えるともできるのだが、同時に、その500円が250対500においての500円である確率が1:2だとは言えないともできるはずだ。
って、それで合ってるのかな?

15 横山 2017/02/02(木) 00:26:19
封筒が高額な方である確率は正しく1/2だ。この1/2という数は僕が10000回封筒を選んだときにほぼ5000回高額な方を選ぶということを示すものだ。
しかし、その1/2は封筒の中身が500円であるときのその500円が250対500においての500円である確率が1/2を示すものではない。1/2の確率であると言えるのは僕が引く方が高額な方であるということの確率だというだけで、僕が引く封筒が250対500なのか500対1000なのかの比率とは何の関係もない。10000回500円を引いたならそれが250対500においての500円である場合がほぼ5000回あるはずだということが、問題設定から論理的に導出できるとは限らないのだ。
僕が引く封筒が高額な方である確率が1/2だというのは問題設定の時点で明らかにされているが、その封筒の中身が250対500なのか500対1000なのかの比率は問題設定のなかには何も表れておらず、謂わばすべて胴元に任されているのだ。
手に取った封筒の中身が500円だったことから封筒を交換したときの期待値を625円だとすることには何の根拠もないのだ。

たとえば、胴元が250対500の二封筒を用意するか500対1000の二封筒を用意するかの比率を3:1にしていたとして、プレーヤーの僕がそれを知っていたときに初めて、交換の期待値を計算できることになる。
(3/4)×250+(1/4)×1000=437.5
で交換の期待値は437.5円だから交換しない方が得だと判断できることになる。

でも、その比率が問題設定の時点では指定されていないのだから、期待値が計算できるはずがない。
手元に500円を見たとき、その500円を見ただけではそれが250対500においてのものなのか500対1000においてのものなのかの比率は、そこにすでに示されているとすることができるようなタイプの数値ではなく、恣意的な数値でしかないものだった、ということなのだろう。

16 横山 2017/02/02(木) 11:43:55
250対500の封筒なのか500対1000の封筒なのかの比率を1:1だと設定してしまえば、交換した方が得だと言い切れるのではないか?
しかし、そのパターンに上限があるなら一概に交換した方が得とは言えない。
例えば、250対500の封筒対と500対1000の封筒対を1つずつ用意するとする。そして、自分が引いた金額が500円だったならその500円が250対500のものなのか500対1000のものなのかの比率が1:1だとすることができるので、交換したときの1/2の確率で250円になり1/2の確率で1000円になると期待することには意味がある。期待値625円なので交換した方が得だと言い切れるはずだ。はじめの手が250円だった時は交換したら必ず500円になるのだからもちろん交換した方が得だ。でも、はじめの手が1000円だったら交換したら必ず500円になってしまうのだから交換しては損だ。だから、封筒の中身がこのようなパターンの時には、手札が何円でも必ず交換した方が得だとは言えない。
同様に考えると、パターンに上限があるならば一概に交換した方が得だとは言い切れなくなることがわかる。

では、パターンの上限を無くし無限の可能性があると想定して同様の考察をすれば、手札がどんな場合でも交換した方が得だと言えるようになるのだろうか?
実際に無限の二封筒のパターンを用意することなど不可能であるが、そこは思考実験のご都合主義で乗り越えられることにしてしまおう。
そうすると、どんな手札が来ても、私に与えられたその額は私が確かめないでいても、すでにこの手の封筒の中に入っているのだから、私が知らないだけで何か確定した額であるはずだ。その額をA円とする。この時、これと交換し得るもう一つの封筒の中は(1/2)×A円か2A円かであり、設定からそれぞれ1/2の確率である。だから、その額の期待値は1.25A円と算出され、取りかえた方が得だと推論される。
しかし、封筒の中身を確認しないでも取りかえた方が得だなどというのは、おかしい。

どこがおかしいのだろうか。

17 横山 2017/02/02(木) 12:21:10
封筒の中身のパターンに上限がなくどのパターンも同じ比率で出現するという想定をすると、はじめの手札の中身を確認しなくても交換した方が得だと計算されてしまった。
これは変だ。
どこがおかしかったのか?

問題はやはり無限にあるのではないか?

この設定では、最初の手札の額を確認する以前であれば、その額の期待値は無限大になってしまう。だから、その無限大の額にAという定額としての値を当てはめたり、仮想であっても某かの固定値だとして計算したりすることなどできない。
というのが答えなのではないか。

(はじめの手の期待値計算。
封筒の中身のパターンを、1円と、その2倍と1/2倍、そして4倍と1/4倍・・・と、増やしていきその平均を考えるとすると、
lim(n→∞)(n^2-(1/
2n))/(2n-1)
と立式でき、∞に発散する。それゆえ、はじめの手の期待値は額を確認するまでは無限大である。)

だから、金額のパターンが無限であっても手を見ないでも交換した方が得とは言えない。もちろんパターンが有限であれば交換した方が得とは言えない。

ならば、それ以外の場合なら良いのか?金額のパターンが偏りのない無限で、はじめの手の金額を確認する、とすれば、その時はいつでも交換した方が得だといえるのだろうか?

18 横山 2017/02/02(木) 21:40:43
問1)金額のパターンが偏りのない無限で、はじめの手の金額を確認する、とすれば、その時はいつでも交換した方が得だといえるのだろうか?

答え)言える。

一定値a(例えば500円)を基準として、その2倍4倍・・・1/2倍1/4倍・・・と無限に繋がっていく等比級数を考える。・・・125円、250円、500円、1000円、2000円・・・という級数(a×(2^n)で、nが-∞及び∞になっていくもの)  を考える。
そのような数列を作っておいて、それぞれの項に対応した封筒対を一つずつ用意しておく。すると、無限の可能性のなかで、250対500の封筒対が選ばれる可能性も、500対1000の封筒対が選ばれる可能性も、1000対2000の封筒対が選ばれる可能性もすべて同等で均一の比率で選ばれる設定だと言えるものになる。
金額のパターンが偏りのない無限になっている、と言えるものになる。

それなら、この設定でランダムに封筒対を選び、その対から一つの封筒を選んだとして、その中身を確認した場合、その封筒は取りかえた方が得だと言い切れるのだろうか?
ただし、ここで「取りかえた方が得」と言ったのを、十分に多数の同様の実検をしたときに得る金額の合計を比べて、取り替えないときより、取り替えたときの方が上回るという意味だとするなら、その判断はできるとは限らない。
だって、無限に用意した封筒群からランダムに選んだ金額の合計を出そうとしても、その金額が有限の値ではなくなってしまって、どちらが多いかという比較ができなくなってしまうからだ。

そこで、ここで比べるのは、無限に用意した封筒のなかから一定値(例えば500円)を選んだという奇跡が、十分に多数の回数起こったときにその得られる合計金額を比べるべきだということになる。
そして、そのような奇跡を想定して計算するなら、この場合、はじめの手の500円は交換した方が得だと言って良い。

(もしかして、例会で三浦氏の解答「一定値を設定していてその金額の時には交換すべき(だったっけ?)」が紹介されていましたが、それもこのような主張を言ったものなのでしょうか?)

問い2)金額のパターンが無限であることを確保できない場合でも、交換した方が得だといえるか?

答え)偏りのない金額パターンが確保されていて、自分の手がそのパターンの上限ではないことが確認できるのであれば言えるが、そうでなければ言えない。

しかし、思考実験だとしても、無限の封筒対を用意してそのからランダムで封筒を選ぶなどという作業は不可能である。
だから、実際にそのようなことをするならば、胴元にある程度多数の封筒対を用意してもらったうえで、自分の引いた金額が胴元の用意した封筒対のうちの上限ではないことを胴元に教えてもらう、というのが現実的な「やり方」であろう。「胴元さん、僕の手は500円だったんだけど、1000円以上の封筒も用意した?」って。
胴元がこれに「イエス」と答えてくれるなら、その情報によって、「僕」は交換した方が得であるとする根拠を得ることになるので、交換すべきだと言えることになる。

金額に偏りのない無限の封筒対を胴元に用意してもらうか、有限であっても自分のはじめの手が用意された金額の上限でないことを教えてもらえるかするならば、我々は根拠を持って交換した方が得だとすることができる。
ってことだろう。

そして、そう考えて、当初の問題設定を振り替えると、
胴元は一つの封筒対しか用意していない。だから、「僕」が引いた金額が500円だったとして、「胴元さん、僕の手は500円だったんだけど、1000円以上の封筒も用意した?」って聞いても胴元は答えられるわけがない。用意したのは250対500か500対1000でしかあり得ないのだから、それに答えては「僕」に封筒の中身をすべて打ち明けることになってしまうからだ。でも、「僕」はそれを知らせてもらえないのであれば、交換が得になるかどうかの有効な根拠はまるで何も得られないので、判断できない。
だから、「最初の問題設定では、どうしたって有効な根拠をもつ判断はできない」というのが答えだったとして良いように思います。

長々と書きましたが、僕の考えたことは以上です。

19 横山 2017/02/02(木) 22:04:07
結局、交換によって手が二倍になる可能性についての情報を得ているか否かによって、同様の状況で交換したときの期待値が現状より上回り得るか否かが決まる、ってことじゃないかと。
それがはっきりされないまま問題を解こうとしても無理だ、ということかと。

20 横山 2017/02/02(木) 22:23:00
そして、この問は、
封筒対がどのように用意されているかという設定をどう組むかということ自体に、可能世界のあり方が組み込まれているのだし、組み込まれざるを得ない、
つまり、いかなる未来の可能性も世界の設定の解釈によって構成されるもの以上のものではあり得ない、
という教訓譚だったような気がします。

21 横山 2017/02/03(金) 09:14:51

現時点での結論として、

「僕」が500円を交換したときに250円を得るか1000円を得るかの確率は、胴元が250対500の封筒対と500対1000の封筒対を用意する比率に懸かっているものであって、「僕」が封筒対のうちの高額な方を引いたかどうかの比率とは全く別で関係ないものだ、というのが勘違いの元凶だったということだろう。

僕が高額な方を引く確率が1/2であり、この手に500円があるのであれば、この500円が封筒対のうちの高額な方である確率が1/2だと結論付けて良いように思える。しかし、これが間違いだった。

「ここに1対の封筒対がある。その封筒の1つを選ぶと中身は500円だった」という記述から、胴元が250対500の封筒対と500対1000の封筒対を用意する比率が1:1であるということを読み取ることはできない。胴元が250対500の封筒対と500対1000の封筒対を用意する比率は、1:1でも、1:10でも、0:1でもどうにでもなり、どの可能性もあり得る。

例えば、胴元が250対500の封筒対と500対1000の封筒対を3:1の比率で用意していたとしても、僕が封筒対の高額な方を選ぶ確率は正しく1/2であると言える。それは、様々な額の封筒対のそれぞれで高額な方と低額の方に分けたときの片方を選ぶという意味での1/2である。

しかし、それは、僕が取ったのが500円だったときにその500円が封筒対のうちの高額な方である確率が1/2であることとは何の関係もないのだ。胴元が250対500の封筒対と500対1000の封筒対を3:1の比率で用意したのだったら500円が高額な方である確率は3/4であって、決して1/2ではない。

僕が封筒対の高額な方を選ぶ確率が1/2であることから僕が取った500円が高額な方である確率も1/2であることを導出するためには、250対500と500対1000の封筒対が偏りなく出現するとする前提が必要であるのだが、それは、「ここに1対の封筒対がある。その封筒の1つを選ぶと中身は500円だった」という記述には含まれていないのだ。

そう考えると、夫さんがレス5で、「自分の選んだ金額が、高額の場合と低額の場合とで世界が異なるので、一緒にして期待値計算ができないということではないのでしょうか。だから仮に500円を選んだとして、もう一つの封筒に交換するときの期待値を計算しようと思っても、情報が足りない。自分の選んだ金額が、高額か、低額かを知る必要があるわけですが、知ったらもう一方の封筒の中身の金額もわかっちゃうので意味はありません。」と仰っていたのは、正しくど真ん中の本質的な解答だったのですね。

twitterはじめました

« 「私の死後にもちゃんと世界は存在している」と言えるわけ | トップページ | 水中の「匂い」を考える »

コメント

横山さん
先ほどのブログ消してしまわれたようですので、ここにコメント致します。
私は暫く前からこうしてます。ご参考まで。
マイページ画面から→「ブログを書く」→「記事を書く」→「管理」
→右のほうの「便利メニュー」の中の「設定」に「コメント/トラックバック
の設定」があります。それをクリックすると「公開の承認」の項目があり
ますので「コメント公開を保留」に☑をすれば、投稿されたコメントは、
承認されるまで公開されずに保留されます。
ブログにコメントが入れば登録メアドにメールが来ますので、それで誰
からのコメントか(内容も)分かります。悪質なコメントは承認しなければ
公開されないままになります。
すべてのコメントにその承認操作がその都度必要になりますが、悪質な
コメントはやがて来なくなります(公開されないので)。

平戸さん、そんな方法ごあったのですね。これは本当に良い情報を教えてもらいました。有難うございます。参考にさせてもらいます。

コメントを書く

(ウェブ上には掲載しません)

トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/548679/64843283

この記事へのトラックバック一覧です: 二封筒問題を考える:

« 「私の死後にもちゃんと世界は存在している」と言えるわけ | トップページ | 水中の「匂い」を考える »