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2011年3月25日 (金)

0.999…と区間縮小法≪無限は実在するか4≫

区間縮小法

区間縮小法は、集合論を作ったあのカントールが実数を示す方法として考えたもので、一般的に実無限の「0.999…=1」を証明する一つの方法である。

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区間縮小法の原理は「閉区間の減少列 I⊃I⊃I⊃…I⊃In+1⊃… があたえられているとき、全てのI(n=1,2,3…)に共通に含まれる実数がある。」というもの。

つまり、ある区間I[a、b]のaとbの差をどんどん縮めていって、(a-b)が0になったときにそれが一つの実数を示しているとするのだ。

このやり方を、「0.999…」という表記にも当てはめて考えることができる。

0999

ある数1が閉区間[0,1]に含まれるとき、一の位は「0」と記される。[0,1]をさらに縮小して[0.9,1]に含まれるとき小数1位までを「0.9」と記す。そして、この区間の幅が0になるとき、その数は「0.999…」と表記される。
このように、「1」に対して数直線の左側「0」の方から縮小したとき、この数の表記は「0.999…」になる。

ある数1が閉区間[1,2]に含まれるとき、一の位は「1」と記される。[1,2]をさらに縮小していって、[1.00,1.01][1.000,1.001]…に含まれるときその数は「1.00」「1.000」…と記される。そして、この区間の幅が0になるとき、その数は「1.000…」と表記される。
このように、「1」に対して数直線の右側「2」の方から縮小したとき、この数の表記は「1.000…」になる。

だから、「0.999…=1.000…」である。

と、これが、区間縮小法による「0.999…=1」の説明であり、実数の指定である。
区間縮小法によれば実数は左右から挟み込むことができる極限の値である。[0,1]からと[1,2]からという、それぞれに「1」を含む二つの挟み込み方を許すような実数の指定方法であるので、「1」という数の表記が二種類できてしまう。そして、だから、「0.999…」と「1」とに違いを見分けることは原理的にできない。というのだ。

しかし、何か怪しくないか?
「0.999…」と「1」が見分けられないのは、単にこの区間を閉区間[0,1](つまり0以上、1以下)と[1,2](1以上、2以下)としたのだから、「1」が両方の区間に掛かるのは当たり前じゃないか。両方の区間に二重に掛からないように右側が開いている半開区間[0,1)(つまり0以上、1未満)と[1,2)(つまり1以上、2未満)の区間で考えたら、「1」に二つの表記などできないはずじゃないか。

有理数と無理数

有限と無限の差は、有理数と無理数の差でもある。

可能無限の「0.999…」は、小数点以下どこまでも「9」を展開し続けることを可能であるとしつつも、実際にはどこかの位でその展開が打ち切られて有限の値になるしかないとするものであった。だから、この立場での「0.999…」は有理数でしかないと言える。

実無限の「0.999…」は、小数点以下どこまでも「9」を展開することが可能であるだけでなく、実際に果てしない永遠の彼方の無限遠点にまで到達してしまったものだとする。無限の最後に達してしまうという矛盾を抱えた概念であるのだが、それゆえ無限の実在性を手に入れたものだとも言える。だから、この立場の「0.999…」は無限小数であり、その意味で無理数だとも言える。(ただし、「1」に等しいのであり、無限に「9」が続く循環小数でもあるのだからもちろん有理数であるのだが、その点はあえて無視するものとする。)

つまり、可能無限では「0.999…」は有理数であり「≠1」である。実無限では「0.999…」は無理数であり「=1」である。・・・ととらえることができる。

そして、ここで、さっきの半開区間[0,1)(つまり0以上、1未満)と[1,2)(つまり1以上、2未満)の区間で考えたら、「0.999…」を無理数としながらも「≠1」だとするようなとらえ方が可能なのではないだろうか。
ということを問題にしたいのだ。しかし、それは次節で。

つづく無限は実在するか5

無限は実在するか目次

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